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唠唠闲话

问题背景

去年讨论班,为了理解 Becker 文章 提到的图自同构子群,对仿射 Weyl 群的几何性质做了整理探究。
2021-11-17_08-50-01

关于图自同构

定义及性质:

  1. Φfin\Phi_{fin} 为有限型根系,其单根系选取不唯一,取 Πfin\Pi_{fin} 为其中一个单根系。

  2. Weyl 群 WfinW_{fin} 元素诱导单根系之间的置换,其自然作成 Aut(Φfin)Aut(\Phi_{fin}) 子群,且有

    wΠfin=wΠfinw=ww\Pi_{fin}=w'\Pi_{fin}\Leftrightarrow w=w'

  3. Γfin\Gamma_{fin} 为根系 Πfin\Pi_{fin} 的自同构群,则其自然作成 Aut(Φfin)Aut(\Phi_{fin}) 的子群,且有

    Aut(Φfin)WfinΓfinAut(\Phi_{fin})\cong W_{fin}\rtimes\Gamma_{fin}

  4. 具体地,图自同构有如下计算方法

    σAut(Φfin) σΠfin=Π=wΠfin,  wWfin w1σΠfin=Πfin w1σΓfin\begin{align*} &\sigma\in Aut(\Phi_{fin})\\ \Rightarrow\ &\sigma \Pi_{fin}=\Pi'=w\Pi_{fin},\ \exists\ w\in W_{fin}\\ \Rightarrow\ &w^{-1}\sigma \Pi_{fin}=\Pi_{fin}\\ \Rightarrow\ &w^{-1}\sigma\in \Gamma_{fin} \end{align*}

  5. 图自同构是单根间的置换,在 Dynkin 图上体现为图的自同构。从半直积关系可以看出,Γfin\Gamma_{fin} 作为 Aut(Φfin)Aut(\Phi_{fin}) 的子群,选取不唯一,与单根系选取相对应。

Ps:当讨论涉及根格,三角分解和 Verma 模等时,都隐含了单根系的选取,此时 Γfin\Gamma_{fin} 唯一确定。

文献结论

Bourbaki 文献 [B] 的 5.2.3 给出了下边关系

LetG=Aut(Φfin)PWe=WfinPWaff=WfinQthenG/WeAut(Φfin)/WfinΓfin (1)We/WaffP/QΓ(2)G/Waff(Aut(Φfin)/Wfin)(P/Q)(3)ΓfinΓΓ\begin{align*} Let\qquad G&= Aut(\Phi_{fin})\ltimes P^\vee\\ W_e &= W_{fin}\ltimes P^\vee\\ W_{aff} &= W_{fin}\ltimes Q^\vee\\ then\qquad\\ G/W_e &\cong Aut(\Phi_{fin})/W_{fin}\cong\Gamma_{fin}\ &(1)\\ W_e/W_{aff}&\cong P^\vee/Q^\vee\cong\Gamma'&(2)\\ G/W_{aff}&\cong \left(Aut(\Phi_{fin})/W_{fin}\right)\ltimes (P^\vee/Q^\vee)&(3)\\ &\cong\Gamma_{fin}\ltimes\Gamma'\cong\Gamma \end{align*}

记号如下:

  • WeW_e 为扩张仿射 Weyl 群
  • WaffW_{aff} 为仿射 Weyl 群
  • WfinW_{fin} 为有限型的 Weyl 群
  • Aut(Φfin)Aut(\Phi_{fin}) 为有限型根系的自同构群
  • P, QP^\vee,\ Q^\vee 分别为权格对偶和根格对偶
  • Γ\Gamma 为仿射型的图自同构群
  • Γfin\Gamma_{fin} 为有限型的图自同构群

其中 Γ\Gamma' 为 Becker 文献中提到的图自同构子群

探究结论

特别地,

WeWaffΓWfinP(WfinQ)ΓΓP/Q\begin{align*} W_e &\cong W_{aff}\rtimes \Gamma'\\ &\cong W_{fin}\ltimes P^\vee\\ &\cong (W_{fin}\ltimes Q^\vee)\rtimes\Gamma'\\ \Gamma'&\cong P^\vee/Q^\vee \end{align*}

Γ\Gamma' 的元素唯一分解为平移变换 xx 和线性变换 ww

 σΓ, ! xPQ, wWfin s.t. σ=wtx\begin{align*} \forall\ \sigma\in\Gamma',\ \exists!\ x\in P^\vee\setminus Q^\vee,\ w\in W_{fin}\ s.t.\ \sigma=w\cdot t_x \end{align*}

考虑下边表格:

仿射型 GCM AaffA_{aff} A~l\widetilde{A}_l B~l\widetilde{B}_l C~l\widetilde{C}_l D~l\widetilde{D}_l E~6\widetilde{E}_6 E~7\widetilde{E}_7 E~8\widetilde{E}_8 F~4\widetilde{F}_4 G~2\widetilde{G}_2
有限型 GCM AfinA_{fin} AlA_l BlB_l ClC_l DlD_l E6E_6 E7E_7 E8E_8 F4F_4 G2G_2
仿射型图同构群 Γaff\Gamma_{aff} D2(l+1)D_{2(l+1)} Z2\mathbb{Z}_2 Z2\mathbb{Z}_2 {Z4Z2,l>4S4,l=14\begin{cases}\mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2,&l>4\\S_4, & l=14\end{cases} S3S_3 Z2\mathbb{Z}_2 1 1 1
有限型图同构群 Γfin\Gamma_{fin} {1,l=1Z2,l>1\begin{cases}1,&l=1\\\mathbb{Z}_2, & l>1\end{cases} 1 1 {Z2,l>4S3,l=4\begin{cases}\mathbb{Z}_2,&l>4\\S_3, & l=4\end{cases} Z2\mathbb{Z}_2 1 1 1 1
图同构子群 ΓP/Q\Gamma'\cong P^\vee/Q^\vee Zl+1\mathbb{Z}_{l+1} Z2\mathbb{Z}_2 Z2\mathbb{Z}_2 {Z4,l is oddZ2×Z2,l is even\begin{cases}\mathbb{Z}_4,&l\ is\ odd\\\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, & l\ is\ even\end{cases} Z3\mathbb{Z}_3 Z2\mathbb{Z}_2 1 1 1

由最后一行知:

  • 情形 F2,G2F_2,G_2E8E_8 :图同构子群 Γ\Gamma' 为平凡群;
  • 情形 D2kD_{2k}ΓK4\Gamma'\cong K_4 由两个元素生成
  • 余下情形: Γ\Gamma' 为非平凡循环群

{ωi}i=1n\{\omega_i\}_{i=1}^n 为有限型的基本权,相关公式的构造如下:

Type平移 xWeyl 群元素 wAlhωl=1l+1i=1lihislsl1s1Bl(l3)hω1=12hl+i=1l1his1s2sl1slsl1s1Cl(l2)hωl=12i=1lihiw1w2wlDl(l为奇数)hωl=12i=1l2ihi+14((l2)hl1+lhlw1w2+wl1+Dl(l为偶数)hωl, hωl1hωl=12(hl1hl)w1w2+wl1,w2+s0s1sl1E6hω6=13(2h1+3h2+4h4+6h4+5h5+4h6)w1s4s3s5s4s2w3s1E7hω7=12(2h1+3h2+4h4+6h4+5h5+4h6+3h7)w1s4s3s5s4s2s6s5s4s3s1w2s4s5s6s7\begin{array}{|c|c|c|} \hline Type & 平移\ x & \text{Weyl 群元素 } w\\ \hline A_l & h_{\omega_l}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{i=1}^lih_i & s_ls_{l-1}\cdots s_1 \\ B_l(l\geq 3) & h_{\omega_1}=\frac 12h_l+\sum\limits_{i=1}^{l-1}h_i & s_1s_2\cdots s_{l-1}s_ls_{l-1}\cdots s_1 \\ C_l(l\geq 2) & h_{\omega_l}=\frac 12\sum\limits_{i=1}^lih_i & w_1w_2\cdots w_l\\ D_l(l为奇数) & h_{\omega_l}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{l-2}ih_i+\frac{1}{4}((l-2)h_{l-1}+lh_l & w_1^-w_2^+\cdots w_{l-1}^+\\ D_l(l为偶数) & h_{\omega_l},\ h_{\omega_{l-1}}-h_{\omega_l}=\frac{1}{2}(h_{l-1}-h_{l}) & w_1^-w_2^+\cdots w_{l-1}^-,w_2^+s_0s_1\cdots s_{l-1} \\ E_6 & h_{\omega_6}=\frac{1}{3}(2h_1+3h_2+4h_4+6h_4+5h_5+4h_6) & w_1s_4s_3s_5s_4s_2w_3s_1 \\ E_7 & h_{\omega_7}=\frac{1}{2}(2h_1+3h_2+4h_4+6h_4+5h_5+4h_6+3h_7) & w_1s_4s_3s_5s_4s_2s_6s_5s_4s_3s_1w_2s_4s_5s_6s_7\\ \hline \end{array}

其中

wi=slsl1s1wi+=sl1sl2siwi=slsl2sl3si\begin{align*} w_i&=s_ls_{l-1}\cdots s_1\\ w_i^+&=s_{l-1}s_{l-2}\cdots s_i\\ w_i^-&=s_ls_{l-2}s_{l-3}\cdots s_i \end{align*}

公式思路

平移部分:

  • 图自同构 \Leftrightarrow 单根自同构 \Leftrightarrow alcove 的自同构(几何)
  • 平移要用 alcove 的顶点,恰好为基本权 {ωi}i=1n\{\omega_i\}_{i=1}^n
  • D2kD_{2k} 情形取了 x=hωl1hωlx=h_{\omega_{l-1}}-h_{\omega_l},因而 Weyl 群公式带 s0s_0

Weyl 群部分:

  1. 观察图像,得 A2A_2 公式 s2s1s_2s_1,并证明一般情形 slsl1s1s_ls_{l-1}\cdots s_1
  2. 遍历低阶 weyl 群,得出各类型的公式;公式可证,但说明不了简约性,此外群阶为 O(n!)O(n!)
  3. 借助偏序给出升链算法,简约性立得,且复杂度至多 O(n3)O(n^3)(手算级别)
  4. 表达式含义:抛物子群最小陪集的最长元

Ps:结构越丰富,性质越好证。

内容安排

本篇整理 Weyl 群几何直观的相关结论,研究目的:

  1. 理解几何结构,有利于公式推导和证明,也利于编程
  2. 上周南大报告讲 Weyl groupoids 的几何直观,空间剖分方式和 Weyl 群很类似。李理论的理解清楚了,方便类比到 Nicholas 代数。

文章安排

  1. 根空间剖分与反射群的组合性质
  2. 有限型的推广方法
    • 沿用原来方法
    • 取对偶空间(Humphreys 5.13)
    • 先补维再模维(GCM)
  3. 尝试:编程猜想+编程证明

反射群

定义记号

  1. 基本定义 (Π,S,W,Φ,V)(\Pi,S,W,\Phi,V)

    • Π={αi}i=1n\Pi=\{\alpha_i\}_{i=1}^n 为单根系
    • S={si}i=1nS=\{s_i\}_{i=1}^n 为单反射集
    • W=ssSW=\langle s\mid s\in S\rangle 为反射群
    • Φ=WΠ\Phi=W\Pi 为根系
    • V=spanΠV=span\Pi 为根空间
  2. ISI\subseteq S 为单反射子集,得到子结构

    (ΠI,I,WI,ΦI,VI)(\Pi_I,I,W_I,\Phi_I,V_I)

    其中 WI=ssIW_I=\langle s\mid s\in I\rangle 称为 WW 的抛物子群。

  3. 长度函数记为 l,简约表达(略)。

  4. WIW_I 的最小(左)陪集定义为

    WI:={wWl(w)l(ws), sI}={wWl(w)l(u),uwWI}\begin{align*} W^I:=&\{w\in W\mid l(w)\leq l(ws),\ \forall s\in I\}\\ =&\{w\in W\mid l(w)\leq l(u),\quad \forall u\in wW_I\} \end{align*}

  5. 容易得到

    l(uv)=l(u)+l(v),  uWI, vWIl(u\cdot v)=l(u)+l(v),\ \forall\ u\in W^I,\ v\in W_I

几何性质

基本定义:

  • ,\langle,\rangleVV 上的內积,αΦ\alpha\in\Phi
  • Lα={λVλ,α=0}L_\alpha=\{\lambda\in V\mid \langle\lambda,\alpha\rangle=0\} 为墙
  • Uα={λVλ,α>0}U_\alpha=\{\lambda\in V\mid \langle\lambda,\alpha\rangle >0\} 为半平面
  • C=αΠUαC=\bigcap\limits_{\alpha\in\Pi}U_\alpha 为基本室(fundamental chamber)
  • D=Cˉ=αΠ(UαLα)D=\bar{C}=\bigcap\limits_{\alpha\in\Pi}(U_\alpha\cup L_\alpha) 为基本区域

A2A_2 例子:
20211117165352

 λ,μV\forall\ \lambda,\mu\in V ,定义偏序关系

λμλμ=i=1nkiαi, where kiR0\lambda\geq\mu \Leftrightarrow \lambda-\mu=\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i,\ where\ k_i\in \mathbb{R}_{\geq 0}

特别地,考虑单反射 sis_i 作用,λ\lambdasiλs_i\lambda 必有大小关系

siλλ=2αi,λαi,αiαis_i\lambda-\lambda=\frac{2\langle\alpha_i,\lambda\rangle}{\langle\alpha_i,\alpha_i\rangle}\alpha_i

子结构

考虑子结构 (ΠI,I,WI,ΦI,VI)(\Pi_I,I,W_I,\Phi_I,V_I),令

CI:={λDλ,α=0, αΠI, λ,α>0, αΠΠI}=(αΠILα)(αΠΠIUα)\begin{align*} C_I:=&\left\{\lambda\in D\mid \langle\lambda,\alpha\rangle=0,\ \alpha\in\Pi_I ,\ \langle\lambda,\alpha\rangle> 0,\ \alpha\in\Pi\setminus\Pi_I \right\}\\ =&(\bigcap_{\alpha\in\Pi_I}L_\alpha)\cap(\bigcap_{\alpha\in\Pi\setminus\Pi_I}U_\alpha) \end{align*}

我们称 CIC_I 为“小面” facet,其上任一点的稳定子群为抛物子群 WIW_I

stab(x)=WI, xCIstab(x)=W_I,\ \forall x\in C_I

特别地,两种极端情形如下

Cϕ=C, Wϕ=WCS=0, WS=0C_\phi=C,\ W^\phi=W\\ C_S=0,\ W^S=0

2021-12-03_19-51-22

注记:

  1. 小面 CIC_I 的“维数”越大,稳定子群 WIW_I 越小,最小陪集 WIW^I 相应越大。
  2. 小面公式 = 邻近大面中的最小公式

主要定理

  1. 抛物子群的最小陪集 WIW^IVV 的小面一一对应

    WI{wCIwWI}W^I\longrightarrow\{wC_I\mid w\in W^I\}

  2. 特别地,反射群与 VV 的室(chamber)一一对应

    W{wCwW}W\longrightarrow\{wC\mid w\in W\}

  3. 所有小面互不相交,作成空间 VV 的剖分

    V=IS.wWI.wCIV=\bigcup_{I\subseteq S}^.\bigcup_{w\in W^I}^.wC_I

  4. 引理:小面 CIC_I 满足如下性质,用于构造升链

    if xCIthen  siΠ s.t. six>xif\ x\notin C_I,then\ \exists\ s_i\in\Pi\ s.t.\ s_ix>x

  5. 算法: xV\forall\ x\in V,借助升链给出 xx 所在小面的表达式

    • WI=stab(x)W_I=stab(x),则 xx 落在 CIC_I 的轨道上
    • xx 的一条升链

      x=x0s1x1s2skxkx=x_0\overset{s_1}{\rightarrow}x_1\overset{s_2}\rightarrow\cdots\overset{s_k}\rightarrow x_k

    • 由于反射群为有限群,不妨设升链取极大,此时 xkCIx_k\in C_I,继而

      xksksk1s1xCI xs1s2skCIx_ks_ks_{k-1}\cdots s_1x\in C_I \Rightarrow\ x\in s_1s_2\cdots s_kC_I

Ps:升链技巧出现在 Humphreys 1.12 引理的证明。


最长元公式

公式化归

考虑一般问题: IS\forall\ I\subseteq S,求 WIW^I 的最长元公式。

  1. I=SI=S,则 WI=1W^I=1,问题平凡
  2. 若 #(SI)>1(S\setminus I)>1,设 IJSI\subset J\subset S

    LetW=WIWI=WJWJWJ=WIWIthenW=WJWJ=WJWIWIThusWI=WJWI\begin{align*} Let\quad W&=W^IW_I=W^JW_J\\ W_J&=W^{I'}W_I\\ then\qquad\\ W&=W^JW_J=W^JW^{I'}W_I\\ Thus\quad W^I&=W^JW^{I'} \end{align*}

    WIW^I 的最长元公式拆分为两段。
  3. 综上,只需求 I=S{si}I=S\setminus\{s_i\} 情形的一般公式,通过拼凑得到任意抛物子群的最长元。

Ps:下一步化归非连通情形,最后归结为几组公式。

最长元的几何直观

  1. w0w_0 为反射群的最长元,容易证明 w0C=Cw_0C=-C
  2. w0Iw_0^I 为最小陪集 WIW^I 的最长元,则 w0ICICw_0^IC_I\subseteq -C,证明如下

    Let w0=w0Iv WIWIthen w0ICI=w0IvCI=w0CIC\begin{align*} Let\ w_0&=w_0^I\cdot v\in\ W^IW_I\\ then\ w_0^IC_I&=w_0^IvC_I\\ &=w_0C_I\subseteq -C \end{align*}

注记:

  1. C-C 所有小面的表达式都是陪集最长元
  2. w0ICIw_0^IC_I 未必等于 CI-C_I,比如 A2A_2
  3. 1W-1\in W 时,必有 w0ICI=CIw_0^IC_I=-C_I

A2 例子

20211117165855

Coxeter 群

关于 GCM

直接推广

群作用空间的剖分技巧,取余维一的超空间,在平面跑动,分割,取法不唯一。取基本权,可以和根格权格建立联系,几何性质更好控制。(“坐标系”的选取)

按几何性质,不存在超平面产生仿射效果
2021-11-18_04-33-28

20211117170454

取对偶空间

取对偶空间上的几何
2021-11-18_04-34-14

仿射 Weyl 群上的几何

2021-11-18_04-34-54

20211117170946

A3

编程尝试

(理论角度比较肤浅。)
拆两个函数,一个猜公式,一个证公式。
公式推导

考虑这个问题的好处:
验证公式在空间 H 上,分解称基元的线性组合。证明其实是对系数向量归纳(线性代数)。

交互式定理证明器 | Lean 简介