代数编程 | 仿射 Weyl 群上的几何性质

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唠唠闲话

问题背景

去年讨论班，为了理解 Becker 文章 提到的图自同构子群，对仿射 Weyl 群的几何性质做了整理探究。

关于图自同构

定义及性质：

1. 令 $\Phi_{fin}$ 为有限型根系，其单根系选取不唯一，取 $\Pi_{fin}$ 为其中一个单根系。

2. Weyl 群 $W_{fin}$ 元素诱导单根系之间的置换，其自然作成 $Aut(\Phi_{fin})$ 子群，且有

   $$w\Pi_{fin}=w'\Pi_{fin}\Leftrightarrow w=w'$$

3. 令 $\Gamma_{fin}$ 为根系 $\Pi_{fin}$ 的自同构群，则其自然作成 $Aut(\Phi_{fin})$ 的子群，且有

   $$Aut(\Phi_{fin})\cong W_{fin}\rtimes\Gamma_{fin}$$

4. 具体地，图自同构有如下计算方法

   $$\begin{align*} &\sigma\in Aut(\Phi_{fin})\\ \Rightarrow\ &\sigma \Pi_{fin}=\Pi'=w\Pi_{fin},\ \exists\ w\in W_{fin}\\ \Rightarrow\ &w^{-1}\sigma \Pi_{fin}=\Pi_{fin}\\ \Rightarrow\ &w^{-1}\sigma\in \Gamma_{fin} \end{align*}$$

5. 图自同构是单根间的置换，在 Dynkin 图上体现为图的自同构。从半直积关系可以看出，$\Gamma_{fin}$ 作为 $Aut(\Phi_{fin})$ 的子群，选取不唯一，与单根系选取相对应。

Ps：当讨论涉及根格，三角分解和 Verma 模等时，都隐含了单根系的选取，此时 $\Gamma_{fin}$ 唯一确定。

文献结论

Bourbaki 文献 [B] 的 5.2.3 给出了下边关系

$$\begin{align*} Let\qquad G&= Aut(\Phi_{fin})\ltimes P^\vee\\ W_e &= W_{fin}\ltimes P^\vee\\ W_{aff} &= W_{fin}\ltimes Q^\vee\\ then\qquad\\ G/W_e &\cong Aut(\Phi_{fin})/W_{fin}\cong\Gamma_{fin}\ &(1)\\ W_e/W_{aff}&\cong P^\vee/Q^\vee\cong\Gamma'&(2)\\ G/W_{aff}&\cong \left(Aut(\Phi_{fin})/W_{fin}\right)\ltimes (P^\vee/Q^\vee)&(3)\\ &\cong\Gamma_{fin}\ltimes\Gamma'\cong\Gamma \end{align*}$$

记号如下：

• $W_e$ 为扩张仿射 Weyl 群
• $W_{aff}$ 为仿射 Weyl 群
• $W_{fin}$ 为有限型的 Weyl 群
• $Aut(\Phi_{fin})$ 为有限型根系的自同构群
• $P^\vee,\ Q^\vee$ 分别为权格对偶和根格对偶
• $\Gamma$ 为仿射型的图自同构群
• $\Gamma_{fin}$ 为有限型的图自同构群

其中 $\Gamma'$ 为 Becker 文献中提到的图自同构子群

探究结论

特别地，

$$\begin{align*} W_e &\cong W_{aff}\rtimes \Gamma'\\ &\cong W_{fin}\ltimes P^\vee\\ &\cong (W_{fin}\ltimes Q^\vee)\rtimes\Gamma'\\ \Gamma'&\cong P^\vee/Q^\vee \end{align*}$$

$\Gamma'$ 的元素唯一分解为平移变换 $x$ 和线性变换 $w$：

$$\begin{align*} \forall\ \sigma\in\Gamma',\ \exists!\ x\in P^\vee\setminus Q^\vee,\ w\in W_{fin}\ s.t.\ \sigma=w\cdot t_x \end{align*}$$

考虑下边表格：

仿射型 GCM $A_{aff}$	$\widetilde{A}_l$	$\widetilde{B}_l$	$\widetilde{C}_l$	$\widetilde{D}_l$	$\widetilde{E}_6$	$\widetilde{E}_7$	$\widetilde{E}_8$	$\widetilde{F}_4$	$\widetilde{G}_2$
有限型 GCM $A_{fin}$	$A_l$	$B_l$	$C_l$	$D_l$	$E_6$	$E_7$	$E_8$	$F_4$	$G_2$
仿射型图同构群 $\Gamma_{aff}$	$D_{2(l+1)}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\begin{cases}\mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2,&l>4\\S_4, & l=14\end{cases}$	$S_3$	$\mathbb{Z}_2$	1	1	1
有限型图同构群 $\Gamma_{fin}$	$\begin{cases}1,&l=1\\\mathbb{Z}_2, & l>1\end{cases}$	1	1	$\begin{cases}\mathbb{Z}_2,&l>4\\S_3, & l=4\end{cases}$	$\mathbb{Z}_2$	1	1	1	1
图同构子群 $\Gamma'\cong P^\vee/Q^\vee$	$\mathbb{Z}_{l+1}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\begin{cases}\mathbb{Z}_4,&l\ is\ odd\\\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, & l\ is\ even\end{cases}$	$\mathbb{Z}_3$	$\mathbb{Z}_2$	1	1	1

由最后一行知：

• 情形 $F_2,G_2$ 和 $E_8$ ：图同构子群 $\Gamma'$ 为平凡群；
• 情形 $D_{2k}$ ： $\Gamma'\cong K_4$ 由两个元素生成
• 余下情形： $\Gamma'$ 为非平凡循环群

令 $\{\omega_i\}_{i=1}^n$ 为有限型的基本权，相关公式的构造如下：

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Type & 平移\ x & \text{Weyl 群元素 } w\\ \hline A_l & h_{\omega_l}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{i=1}^lih_i & s_ls_{l-1}\cdots s_1 \\ B_l(l\geq 3) & h_{\omega_1}=\frac 12h_l+\sum\limits_{i=1}^{l-1}h_i & s_1s_2\cdots s_{l-1}s_ls_{l-1}\cdots s_1 \\ C_l(l\geq 2) & h_{\omega_l}=\frac 12\sum\limits_{i=1}^lih_i & w_1w_2\cdots w_l\\ D_l(l为奇数) & h_{\omega_l}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{l-2}ih_i+\frac{1}{4}((l-2)h_{l-1}+lh_l & w_1^-w_2^+\cdots w_{l-1}^+\\ D_l(l为偶数） & h_{\omega_l},\ h_{\omega_{l-1}}-h_{\omega_l}=\frac{1}{2}(h_{l-1}-h_{l}) & w_1^-w_2^+\cdots w_{l-1}^-,w_2^+s_0s_1\cdots s_{l-1} \\ E_6 & h_{\omega_6}=\frac{1}{3}(2h_1+3h_2+4h_4+6h_4+5h_5+4h_6) & w_1s_4s_3s_5s_4s_2w_3s_1 \\ E_7 & h_{\omega_7}=\frac{1}{2}(2h_1+3h_2+4h_4+6h_4+5h_5+4h_6+3h_7) & w_1s_4s_3s_5s_4s_2s_6s_5s_4s_3s_1w_2s_4s_5s_6s_7\\ \hline \end{array}$$

其中

$$\begin{align*} w_i&=s_ls_{l-1}\cdots s_1\\ w_i^+&=s_{l-1}s_{l-2}\cdots s_i\\ w_i^-&=s_ls_{l-2}s_{l-3}\cdots s_i \end{align*}$$

公式思路

平移部分：

• 图自同构 $\Leftrightarrow$ 单根自同构 $\Leftrightarrow$ alcove 的自同构（几何）
• 平移要用 alcove 的顶点，恰好为基本权 $\{\omega_i\}_{i=1}^n$
• $D_{2k}$ 情形取了 $x=h_{\omega_{l-1}}-h_{\omega_l}$，因而 Weyl 群公式带 $s_0$

Weyl 群部分：

1. 观察图像，得 $A_2$ 公式 $s_2s_1$，并证明一般情形 $s_ls_{l-1}\cdots s_1$
2. 遍历低阶 weyl 群，得出各类型的公式；公式可证，但说明不了简约性，此外群阶为 $O(n!)$
3. 借助偏序给出升链算法，简约性立得，且复杂度至多 $O(n^3)$（手算级别）
4. 表达式含义：抛物子群最小陪集的最长元

Ps：结构越丰富，性质越好证。

内容安排

本篇整理 Weyl 群几何直观的相关结论，研究目的：

1. 理解几何结构，有利于公式推导和证明，也利于编程
2. 上周南大报告讲 Weyl groupoids 的几何直观，空间剖分方式和 Weyl 群很类似。李理论的理解清楚了，方便类比到 Nicholas 代数。

文章安排

1. 根空间剖分与反射群的组合性质
2. 有限型的推广方法
   • 沿用原来方法
   • 取对偶空间（Humphreys 5.13）
   • 先补维再模维（GCM）
3. 尝试：编程猜想+编程证明

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反射群

定义记号

1. 基本定义 $(\Pi,S,W,\Phi,V)$

   • $\Pi=\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ 为单根系
   • $S=\{s_i\}_{i=1}^n$ 为单反射集
   • $W=\langle s\mid s\in S\rangle$ 为反射群
   • $\Phi=W\Pi$ 为根系
   • $V=span\Pi$ 为根空间

2. 令 $I\subseteq S$ 为单反射子集，得到子结构

   $$(\Pi_I,I,W_I,\Phi_I,V_I)$$

   其中 $W_I=\langle s\mid s\in I\rangle$ 称为 $W$ 的抛物子群。

3. 长度函数记为 l，简约表达（略）。

4. $W_I$ 的最小（左）陪集定义为

   $$\begin{align*} W^I:=&\{w\in W\mid l(w)\leq l(ws),\ \forall s\in I\}\\ =&\{w\in W\mid l(w)\leq l(u),\quad \forall u\in wW_I\} \end{align*}$$

5. 容易得到

   $$l(u\cdot v)=l(u)+l(v),\ \forall\ u\in W^I,\ v\in W_I$$

几何性质

基本定义：

• 记 $\langle,\rangle$ 为 $V$ 上的內积，$\alpha\in\Phi$
• $L_\alpha=\{\lambda\in V\mid \langle\lambda,\alpha\rangle=0\}$ 为墙
• $U_\alpha=\{\lambda\in V\mid \langle\lambda,\alpha\rangle >0\}$ 为半平面
• $C=\bigcap\limits_{\alpha\in\Pi}U_\alpha$ 为基本室(fundamental chamber)
• $D=\bar{C}=\bigcap\limits_{\alpha\in\Pi}(U_\alpha\cup L_\alpha)$ 为基本区域

$A_2$ 例子：

$\forall\ \lambda,\mu\in V$ ，定义偏序关系

$$\lambda\geq\mu \Leftrightarrow \lambda-\mu=\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i,\ where\ k_i\in \mathbb{R}_{\geq 0}$$

特别地，考虑单反射 $s_i$ 作用，$\lambda$ 与 $s_i\lambda$ 必有大小关系

$$s_i\lambda-\lambda=\frac{2\langle\alpha_i,\lambda\rangle}{\langle\alpha_i,\alpha_i\rangle}\alpha_i$$

子结构

考虑子结构 $(\Pi_I,I,W_I,\Phi_I,V_I)$，令

$$\begin{align*} C_I:=&\left\{\lambda\in D\mid \langle\lambda,\alpha\rangle=0,\ \alpha\in\Pi_I ,\ \langle\lambda,\alpha\rangle> 0,\ \alpha\in\Pi\setminus\Pi_I \right\}\\ =&(\bigcap_{\alpha\in\Pi_I}L_\alpha)\cap(\bigcap_{\alpha\in\Pi\setminus\Pi_I}U_\alpha) \end{align*}$$

我们称 $C_I$ 为“小面” facet，其上任一点的稳定子群为抛物子群 $W_I$：

$$stab(x)=W_I,\ \forall x\in C_I$$

特别地，两种极端情形如下

$$C_\phi=C,\ W^\phi=W\\ C_S=0,\ W^S=0$$

注记：

1. 小面 $C_I$ 的“维数”越大，稳定子群 $W_I$ 越小，最小陪集 $W^I$ 相应越大。
2. 小面公式 = 邻近大面中的最小公式

主要定理

1. 抛物子群的最小陪集 $W^I$ 与 $V$ 的小面一一对应

   $$W^I\longrightarrow\{wC_I\mid w\in W^I\}$$

2. 特别地，反射群与 $V$ 的室（chamber）一一对应

   $$W\longrightarrow\{wC\mid w\in W\}$$

3. 所有小面互不相交，作成空间 $V$ 的剖分

   $$V=\bigcup_{I\subseteq S}^.\bigcup_{w\in W^I}^.wC_I$$

4. 引理：小面 $C_I$ 满足如下性质，用于构造升链

   $$if\ x\notin C_I，then\ \exists\ s_i\in\Pi\ s.t.\ s_ix>x$$

5. 算法：$\forall\ x\in V$，借助升链给出 $x$ 所在小面的表达式

   • 设 $W_I=stab(x)$，则 $x$ 落在 $C_I$ 的轨道上
   • 取 $x$ 的一条升链

     $$x=x_0\overset{s_1}{\rightarrow}x_1\overset{s_2}\rightarrow\cdots\overset{s_k}\rightarrow x_k$$

   • 由于反射群为有限群，不妨设升链取极大，此时 $x_k\in C_I$，继而

     $$x_ks_ks_{k-1}\cdots s_1x\in C_I \Rightarrow\ x\in s_1s_2\cdots s_kC_I$$

Ps：升链技巧出现在 Humphreys 1.12 引理的证明。

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最长元公式

公式化归

考虑一般问题：$\forall\ I\subseteq S$，求 $W^I$ 的最长元公式。

1. 若 $I=S$，则 $W^I=1$，问题平凡
2. 若 #$(S\setminus I)>1$，设 $I\subset J\subset S$

   $$\begin{align*} Let\quad W&=W^IW_I=W^JW_J\\ W_J&=W^{I'}W_I\\ then\qquad\\ W&=W^JW_J=W^JW^{I'}W_I\\ Thus\quad W^I&=W^JW^{I'} \end{align*}$$

   即 $W^I$ 的最长元公式拆分为两段。
3. 综上，只需求 $I=S\setminus\{s_i\}$ 情形的一般公式，通过拼凑得到任意抛物子群的最长元。

Ps：下一步化归非连通情形，最后归结为几组公式。

最长元的几何直观

1. 设 $w_0$ 为反射群的最长元，容易证明 $w_0C=-C$。
2. 设 $w_0^I$ 为最小陪集 $W^I$ 的最长元，则 $w_0^IC_I\subseteq -C$，证明如下

   $$\begin{align*} Let\ w_0&=w_0^I\cdot v\in\ W^IW_I\\ then\ w_0^IC_I&=w_0^IvC_I\\ &=w_0C_I\subseteq -C \end{align*}$$

注记：

1. $-C$ 所有小面的表达式都是陪集最长元
2. $w_0^IC_I$ 未必等于 $-C_I$，比如 $A_2$
3. 当 $-1\in W$ 时，必有 $w_0^IC_I=-C_I$

A2 例子

Coxeter 群

关于 GCM

直接推广

群作用空间的剖分技巧，取余维一的超空间，在平面跑动，分割，取法不唯一。取基本权，可以和根格权格建立联系，几何性质更好控制。（“坐标系”的选取）

按几何性质，不存在超平面产生仿射效果

取对偶空间

取对偶空间上的几何

仿射 Weyl 群上的几何

A3

编程尝试

（理论角度比较肤浅。）
拆两个函数，一个猜公式，一个证公式。
公式推导

考虑这个问题的好处：
验证公式在空间 H 上，分解称基元的线性组合。证明其实是对系数向量归纳（线性代数）。

交互式定理证明器 | Lean 简介